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Introduction To Topology

Introduction To Topology

某知名奖项一公布,一夜之间,拓扑就火了。曾经以为拓是一门体育课的人也知道了这是一门物理课【哪里不对?】所以拓扑到底是什么呢?

首先拓扑是一个重要的数学分支,分为低维拓扑,微分拓扑,代数拓扑......某范呵呵说过:代数是自行车,分析是火车,拓扑就是飞机,而其中上同调更厉害,那就是火箭了。

一般的科普文章都会告诉大家,拓扑是把一个快橡皮泥连续的变形变成另外一块橡皮泥的过程,那么我就很纳闷了?为什么幼儿园不开设拓扑课呢?虽然按照贵院某些老师的观点,小学生就应该可以听拓扑课了。

其实这些科普文章介绍都是拓扑的一个概念,叫做同伦,本文就介绍一下三个以同开头的词语:同伦,同胚,同调,当然如果本文阅读量高的话,小编还会有动力再讲一下微分拓扑的一些知识。

本文需要先修知识: 无

读完以后,你可能除了数院和部分物院人面前没法装逼,在其他人面前你大可以装一逼了~

同伦

前面已经说过同伦就是一个连续的形变,把一快橡皮泥连续变形,我们来看一个例子

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但是直接这么研究形变比较费力,在研究同伦的时候,我们改一个研究方式——研究一个曲面上的封闭的曲线,什么叫封闭曲线呢,就是有一只蚂蚁从一个地方开始在这个曲面上跑了一圈。如果我们可以把一条封闭曲线连续的变成另外一条封闭曲线的话,那么拓扑学家眼里认为这两条曲线是一样的

图里面有三条曲线A,B,C,在拓扑学家的眼里A和B是一样的但是和C是不一样的,为什么呢?

很容易发现A只需要按照虚线的样子满满形变就可以B,但是如果要变成C的话,中间有一棵树挡着,如果把曲线想象成一个绳圈的话,我们怎么努力都不可能在不离开这个平面的情况下穿过这棵树。

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为什么我们一开始要让蚂蚁来跑呢,其实绳圈省去了蚂蚁大人跑步所用的时间因素,一样的跑到蚂蚁大人可以跑的快一点然后累的不行了休息一会,也可以一开始划水划水再划水然后蹭的一下加速,后面我们会发现这个时间因素并没有太大影响,有影响的话就是绳圈无法判断蚂蚁大人的跑步方向,以及蚂蚁大人有没有跑到一半原路返回到一半再继续前行的奇怪癖好,所以用绳圈的角度和蚂蚁大人跑步的角度来理解闭合曲线。

这个例子告诉我们,其实两条曲线是不是一样的(规范的说我们叫同伦等价),和我们所选取的空间(也就是曲线(绳圈)所活动的范围)有关系(在三维空间里面,我们可以作弊的把绳圈抬起来套住树)。

所以通过研究绳圈的变换的“能力”(能力最大就是整个空间里的所有的绳圈都是同伦等价)我们就可以研究整个空间的性质。

那么我们怎么来研究绳圈变换的能力呢?拓扑学家们引入了“基本群”的概念

我们继续把蚂蚁大人请回来,一个绳圈A就相当于蚂蚁大人绕着A跑一圈,那么如果还有一个绳圈B(起点终点和A一样),我们可以请蚂蚁大人帮我们来构造另外一个绳圈AB(跟我读:A乘以B),我们让蚂蚁大人按照绳圈A跑一圈,回到起点后,蚂蚁大人不能休息(当然拓扑学家是仁慈的,蚂蚁大人在这里喝口水休息一会也是不会影响绳圈的相同性的,因为蚂蚁大人跑步的时间因素并没有太大影响),继续绕着绳圈B开始跑步。这样蚂蚁大人就给了我们第三个绳圈AB,这个绳圈是A的尾巴连接上B的头所构成的新的绳圈。所以我们定义了一个绳圈的乘法A乘以B=A*B,基本群就指绳圈以及他们之间的乘法。

好的知道了这些,你参加数院拓扑学的期末考试就不会看不懂题目了

我们可以看一下圆环的基本群,蚂蚁大人可以跑一圈,跑两圈。。跑-1圈,跑-2圈。。(反向跑步),然后跑x圈和跑y圈的乘积按照我们前面的叙述就是跑了x+y圈。所以圆环的基本群就是x+y

补充

我们研究基本群和蚂蚁大人跑步的起点和终点有关系么?

其实没有关系,你看蚂蚁大人可以先从A点跑到B点然后跑一圈,再从B点原路返回A点就可以了呀

同伦这么厉害有什么用

同伦线算法

我们有一个地形,我们要找到他的最低点,或者局部最低点(就是说这个地形有很多个盆地,我随便找到一个盆地的最低点就好了)

一般计算机计算最低点,是从任意一个点开始,不停地走下坡路,直到最低点。走的快的算法,会需要你离开最低点 比较近的位置才能走,怎么保障窝离开最低点比较近呢?

那么我们可以随便找到一个我们已经知道的地形,这个地形我们知道他的最低点,然后我们连续的形变这个地形,让他变成原来的地形,在这个过程中,我可以认为最低点是连续的变化的,那么我们只需要在这个形变过程中找到几个地形,上一个地形的最低点和下一个地形的最低点就会足够的接近,这样我们就可以用计算机算出来这个最低点啦~所以同伦线算法又称大范围算法,他可以计算很大一个范围内的最小值点,不需要你从最小值点附近开始计算。

同调

一个常用的方法来定义环面是通过粘合一个正方形的一组对边。如下图所示 image

我们可以把原来正方形的两条边(四条边粘合成了两条边)看成这个环面的骨架,这是因为如果看基本群,我们可以认为蚂蚁大人在a边上跑上n圈,然后跑到b上跑上m圈,再到a圈上跑上t圈,再到b圈上跑上s圈,......当然用科学的话(装逼的话)a,b两条边是环面的生成元。

所以我们就想到了能不能用简单的元素叠加累计,通过堆砖块的方式来形容一个空间呢?被堆出来的图形在数学中被称为cw复形。

最典型的就是三角形剖分,把一个曲面划分成若干三角形如下图所示 !(image)[http://mmbiz.qpic.cn/mmbizjpg/8bvAicKicaicMkUI87P7Hg9HHclLdZuXUMPBmu1jsia9e3zkicQ4icJgibb3IMZnXLI1WicUnm4ibMTObd9RUdfFZysQ5Mw/640?wxfmt=jpeg&tp=webp&wxfrom=5&wx_lazy=1]

蚂蚁大人没有休息多久又要回到他的跑道上来了,这一次我们要通过这些三角形给蚂蚁指路

所以我们在每个三角形上表明方向,当然我们不能乱标方向让我们的蚂蚁大人无路可走或者方向太多不知所措。

当然不同的曲面,怎么定向就是一门很复杂的事情,因为定向到最后可能会互相矛盾,通过定向方法,数学家们又有了一种区分曲面的方式了。

而同调就是研究给曲面做好三角形的划分(当然可以是正四面体的划分)后怎么定向的一门学问。

应用:example:图像处理

图片来自:数学科学学院开设课程《图像处理中的数学》董老师的ppt

同胚

我们前面说了那么多连续,那么连续到底是什么呢?

按照高等数学的理解如果函数f在x是连续的,那么对于离x足够近的y,f(y)和f(x)之间的距离足够近。

为了刻画“足够近”这个概念拓扑学家们发明了邻域(neighborhood)这个概念,正如他的名字一样,neighborhood一样,它包含了离你“足够近”的所有点。

当然不同的neighborhood的划分方法不一样,你的邻居就不一样,这个“足够近”的概念就会有所不一样,比如说在我右边“足够近”的人我才认为他和我足够近。

所以一个空间加上一个neighborhood的划分方法,就构成了我们拓扑学所研究的范畴,我们就叫拓扑空间。

如果有一个连续映射f把拓扑空间X变成了Y,同时Y还能通过f的逆映射变回X,那么我就称这两个空间是同胚的。

同胚的意思很简单就是“一样”,那么这个一样和同伦又有什么区别呢?

同伦除了对空间要是连续的,他其实还有一个对时间t的连续,所以同伦的要求更高,我们通过同伦也好,同调也好,还是研究同胚。

同胚的研究还是很难的,比如隔壁的丘先生就声称自己和自己的徒弟,在佩雷尔曼之后多次证明三维的闭的没有洞曲面同胚于一个三维的球面。(这被称为庞加莱猜想,是二十世纪的七大难题之一,被佩雷尔曼证明是正确的) 参考资料 基础拓扑学讲义 尤承业

Algebraic Topology Hatcher

代数拓扑与点集拓扑引伦 包志强

数值分析 张平文 李铁军(同伦线算法部分)

如何学拓扑

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